DES SURFACES. 163 
et ensuite : 
U'"— U' V'" + V 
(y) — : ~ : . 
v * sin hu cos h sin v 
Ces deux rapports, dont le premier dépend seulement de u et 
le second de v , ne peuvent être égaux que si leur valeur com- 
mune est une constante 2a. Donc 
U'"— W = 2a sin hu, 
V'"+ V = — 2a cos h sin v . 
Une première intégration donne : 
U "— U =z 2a cos hu + b, 
Y"+Vz=z2acoskcosv + 6'; 
& et b' désignant des constantes. 
Les deux équations précédentes rentrent chacune dans un 
type connu, et leurs intégrales générales sont : 
U zz a{u sin hu — cos hu) — b + c sin hu -\- c f cos hu , 
V = a cos h (v sin v -f- cos v) -h b' + f sin v -f- T cos v ; 
c, c', /* et f étant de nouvelles constantes. 
Telles sont les formes nécessaires des fonctions U et V, les- 
quelles vérifient sûrement l'équation (y). Il faut examiner main- 
tenant si l'on peut déterminer les constantes de façon que les 
équations (a) et ($) soient aussi satisfaites. 
En premier lieu, la substitution de ces valeurs dans (p) donne 
b z= // : 
et, en second lieu, la substitution dans (a) donne 
c' = — f cos h . 
On a donc : 
^ U z= a(u sin hu — cos hu) — b + c sin hu — f cos hu cos h , 
\ V ~ a cos h (v sin v + cos v) + b + /"sin v + f cos r . 
