DES SURFACES. 165 
constantes arbitraires h et a. La première définit le réseau 
sphérique, et il est clair que, la valeur de k restant fixe, tous 
les élassoïdes fournis par les diverses valeurs de a sont homo- 
thétiques. 
Ce résultat n'est d'ailleurs qu'un cas particulier de cette pro- 
position générale due à M. O. Bonnet, à savoir qu'à tout réseau 
isométrique tracé sur une sphère correspondent une infinité 
d'élassoïdes, homothétiques entre eux, admettant ce réseau 
pour image sphérique. 
3° Les formules relatives à tout élassoïde à lignes de cour- 
bure planes se déduisent des formules générales du présent 
mémoire en donnant aux fonctions U et V les valeurs ci-après : 
\ XJ — a(u sin hu — cos hu) , 
\ V zz a cos h (v sin v + cos v) . 
4° Les coordonnées d'un point quelconque de la surface seront 
données par l'équation (23), jointe à celles que l'on en déduit 
par la différentiation : 
» 
(25) x sin hu cos h + y sin h cos hu=z a.u cos hu , 
(26) x sin v -f- z sin h cos v = a cos h . v cos v . 
On en déduit pour ces coordonnées, exprimées en u et v : 
x = a cos hu cos v , 
. y zz —. — r (u — cos h sin hu cos v) , 
(27) { J sin h x ' 
z = -: — (v cos h — cos hu sin v . 
sin& 
Il en résulte que tous les élassoïdes à lignes de courbure 
planes admettant pour image sphérique un réseau de cercles 
orthogonaux, pour lequel la valeur de sin h n'est pas nulle, 
sont des surfaces transcendantes. 
5° Les lignes de courbure de chacune de ces surfaces corres- 
pondent aux valeurs constantes de u ou de v, et l< i s plans de 
C68 Lignes de courbure sont représentés par 1rs équations (25) 
