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et (26). Les enveloppes de ces plans sont des cylindres trans- 
cendants. 
6° Le carré de l'élément linéaire s'obtient aisément en faisant 
usage des formules (17) et (18) du n° (12). On trouve : 
a 2 
(28) ds 2 — -T-ir- (cos hu — cos h cos v) 2 (du 2 + dv 2 ) . 
sm 2 k v 7 
On vérifie ainsi, conformément à un théorème de M. 0. Bonnet, 
que le réseau des lignes de courbure d'un élassoïde est isomé- 
trique, et qu'à un facteur constant près le coefficient de la 
somme du 2 -f dv 2 est l'inverse du coefficient analogue de 
l'image sphérique. 
7° Les valeurs des rayons de courbure principaux sont don- 
nées, en chaque point, par la relation 
»29) ç u — — cv = . , (cos hu — cos h cos vf , 
v sm 2 h v 
déduites des formules (20) et (22), en y substituant U et V. 
Les formules (19) et (21) donneraient, par la même substi- 
tution, les coordonnées des centres de courbure principaux; 
mais nous nous dispenserons de les écrire. 
35. Élassoïde de révolution ou alysséïde. — Considérons le 
cas particulier, compris dans les formules générales, où les 
cercles d'une famille sont des grands cercles pour le réseau 
sphérique image de sa surface. Dans ce cas, on a cosftzzO, 
et les formules (27) deviennent 
l x =z a cos hu cos v , 
| y z= au , 
( zzz — a cos hu sin v . 
On voit immédiatement que l'élassoïde est de révolution au- 
tour de Oy. La méridienne située dans le plan des œy corres- 
pond à la valeur v =0 , qui annule àr, et ses équations sont 
œ — a cos hu — — (e u -\- e~ u ) , 
y — au; 
