168 MÉMOIRES. 
En différentiant successivement par rapport à u et à #, il 
vient d'abord 
(p)' 2U"u — XJ" r (u* + v 2 + 1) — 2t*V'" = . 
et ensuite 
jjtrr yrrr 
(y)' 
W 
Ces deux rapports doivent être égaux à une même constante 
que nous désignerons par 24a, en sorte que 
U'" = 24<m, 
V'" = — 24at>. 
En intégrant trois fois de suite, on trouve que les fonctions U 
et V ont nécessairement les formes suivantes : 
U =z au* + bu 2 + cu + f, 
N=i — av< + Vv* + c'u+f' ; 
&, c, /*, &', c', /* étant de nouvelles constantes qu'il s'agit de 
déterminer de façon que les équations ((J)' et (a)' soient satis- 
faites, pour toute valeur de u et de t?, puisque (j)' l'est sûre- 
ment. 
On trouve ainsi les conditions 
& — &' = 6a , 
Posons 
il viendra 
r+r=—n, 
& = h + 3a , 
6' = h — 3a ; 
d'où l'on déduit 
U + V=a[^ 2 2 +3) — &(v*+3)] + h(u 2 + v 2 — i) + cw+c't>. 
