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C'est avec les équations écrites ci-dessus que nous déduisons, 
par l'élimination de a et (3, l'équation de la surface considérée. 
Cette équation est 
[-«-(«•---I;')]' 
= aœ [j (V + z* + ? a?* - 8a 2 ) + 3 (y» - - 2 )] 2 . 
La surface est donc du neuvième degré, comme nous l'avions 
annoncé. De tous les élassoïdes algébriques réels connus, c'est, 
celui dont le degré est minimum. 
40. Définition commune des lignes de courbure des élas- 
soïdes à lignes de courbure planes. — Les lignes de courbure 
des élassoïdes à lignes de courbure planes peuvent recevoir une 
définition géométrique commune qu'il me paraît intéressant 
d'indiquer, bien que, plus tard, je fasse usage d'autres considé- 
rations pour obtenir un mode de génération de ces surfaces, à 
l'aide des courbes du second degré. 
Toutes ces lignes de courbure sont, en eïfet, des cycloïdes de 
conique. On appelle cycloïde d'une conique donnée le lieu des 
extrémités des perpendiculaires à l'axe focal, et dont les lon- 
gueurs, comptées à partir des points de la courbe, sont propor- 
tionnelles aux aires des secteurs compris entre la courbe, l'axe 
focal et les rayons vecteurs correspondants. La conique donnée 
est appelée conique directrice, et, en faisant varier le coefficient 
de proportionnalité, on obtient ses diverses cycloïdes. La cy- 
cloïde sera dite elliptique, hyperbolique ou parabolique, selon 
que la conique directrice est une ellipse, une hyperbole ou une 
parabole. Dans le cas particulier où la conique devient un 
cercle, on obtient une cycloïde ordinaire, pourvu que le coeffi- 
cient de proportionnalité soit égal à l'inverse du rayon. 
Les équations de ces courbes, étudiées récemment par M. Lai- 
sant, sont aisées à former. 
Dans le cas de la cycloïde elliptique, on obtient les équations 
\ œ zr A cos v , 
( z == m . A . Bv -f B sin v (1 — mC) ; 
