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41. — Ceci posé, les formules (27) ou (27)', dans lesquelles on 
suppose alternativement u ou v constantes, montrent immé- 
diatement que les projections des lignes de courbure des élae- 
soïdes étudiées dans ce paragraphe sont des cycloïdes de conique. 
Il en est de même de ces courbes, comme on le voit aisément, 
en cherchant leurs équations dans leurs plans et en identifiant 
avec les équations du numéro précédent. En résumé, on trouve 
les résultats suivants : 
1° Les- lignes de courbure des élassoïdes à lignes de cour- 
bure planes sont des cycloïdes de conique, telles que, pour 
chacune d'elles, le rapport qui existe entre les longueurs des 
perpendiculaires à l'axe focal, comptées à partir de la courbe, 
et les aires des secteurs focaux correspondants, est constam- 
ment égal à l'inverse de la moitié de la distance du foyer de 
la conique à la directrice. 
2° Pour les lignes de courbure d'un même système, les 
centres de coniques sont situés, soit sur l'axe Ch/, soit sur 
l'axe Oz ; les foyers appartiennent à des droites fixes per- 
pendiculaires au plan de la ligne de courbure du système qui 
est, en même temps, un plan de symétrie de la surface, et les 
directrices correspondantes coïncident avec les génératrices 
de contact des plans de ces lignes de com^bure et des cylindres 
enveloppes. 
3° Dans le cas de l'élassoïde Ennepérien, les coniques direc- 
trices sont des paraboles pour les deux systèmes, d'où- résulte 
la similitude des lignes de courbure. Pour les autres élas- 
soïdes à lignes de courbure planes, les coniques directrices 
sont des ellipses pour les lignes (v) et des hyperboles pour les 
lignes (u). 
42. Asymptotiques des élassoïdes à lignes de courbure pla- 
nes. — On sait que les lignes asymptotiques d'un élassoïde 
forment le réseau bissecteur du réseau des lignes de courbure. 
Il en résulte que, dans le cas où la valeur de ds 2 revêt la forme 
isométrique 
ds- 2 = H(^ 2 + ^ 2 ), 
