DES SURFACES. 179 
ce cercle. Mais le plan tangent à l'élassoïde, en tous' les points 
de S, est parallèle au plan tangent correspondant de la sphère. 
Le premier plan fait donc un angle constant avec L, et, dès lors, 
la développante enveloppée par ce plan est un héliçoïde. D'ail- 
leurs, l'asymptotique S étant, d'après une propriété générale 
bien connue, l'arête de rebroussement de cette développable, 
sera elle-même une hélice tracée sur un cylindre parallèle à L. 
Donc : 
Les asymptotiques de l'élassoïde Ennepérien sont des hélices 
tracées sur des cylindres dont les génératrices sont perpen- 
diculaires aux plans des cercles formant les images sphéri- 
gues des asymptotiques considérées. 
On peut prévoir que ces cylindres sont du troisième degré, 
puisque les asymptotiques sont des cubiques gauches. C'est 
d'ailleurs ce que montre un calcul direct, l'équation de la pro- 
jection d'une asymptotique, sur le plan du cercle correspondant, 
ayant une équation de la forme 
y 2 —m(œ — p)(x — q) 2 . 
45. — La considération des lignes asymptotiques permet de 
vérifier, sur l'élassoïde Ennepérien, un théorème fort remar- 
quable de M. 0. Bonnet, d'après lequel, si deux élassoïdes ont, 
l'un pour image de ses lignes de courbure, l'autre pour image 
de ses lignes asymptotiques, un même réseau sphérique isomé- 
trique, ces deux élassoïdes sont applicables l'un sur l'autre, à 
l'homothétie près, les points correspondants étant ceux qui ont 
la même image sphérique. 
On peut prévoir, d'après cela, en tenant compte aussi de ce 
que nous avons dit des images sphériques des lignes asympto- 
tiques, que si l'on fait tourner un élassoïde Ennepérien de 
45° autour de son axe Ox, les deux positions de la su? face 
seront applicables l'une sur l'autre, les points correspondants 
étant ceux qui ont la même image sphérique; de telle sorte 
que les lignes de courbure et les asymptotiques de la première 
position auront respectivement pour transformées les asymp- 
totiques et les lignes de courbure de la seconde. 
