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Ce résultat devient manifeste si, après avoir posé 
x/SzzX' , tj/2 = ii.', 
on forme le carré de l'élément linéaire ds 2 en fonction de X' , 
[// et de leurs différentielles. En effectuant la transformation 
sur la formule (28)', il vient 
ds* — 9a 2 (X' 2 + y/ 2 + l) 2 (dX' 2 + dy!*) . 
Donc, si l'on fait 
u — \'., v = j*' , 
on obtiendra, sur l'élassoïde proposé, une correspondance de 
points telle que les portions correspondantes de la surface seront 
applicables l'une sur l'autre. 
Or, si l'on désigne par u { et v t les paramètres des lignes de 
courbure qui correspondent à X' et p', on a 
v , X' + p' __ w + 1? ' 
Y% Yz 
X' — y/ u — v 
Vi =z X — \x — — -=— — — -=- ; 
Y2 Y2 
et il est très facile de vérifier que l'on passe du point (u, v) de 
ja surface au point (u t , v t ) de la même surface par une rota- 
tion de 45° autour de Oœ , ce qui démontre la proposition 
énoncée. 
46. Généralités sur les lignes de longueur nulle ou isotro- 
pes. — Nous nous proposons maintenant d'étudier les lignes de 
longueur nulle des élassoïdes ta lignes de courbure planes, afin 
d'en déduire, selon la méthode de M. Sophus Lie, le mode de 
génération le plus naturel de ces surfaces. Le savant géomètre 
de Christiania a démontré, en effet, que tout élassoïde est le 
lieu des milieux des cordes joignant les points de deux lignes 
isotropes (ou de longueur nulle) choisies arbitrairement. La 
