DES SURFACES. 181 
réciproque est vraie. On en conclut que les lignes isotropes d'un 
élassoïde sont, à des translations près, identiques par famille, 
comme étant homothétiques, dans le rapport de 1 à 2, aux 
lignes isotropes génératrices. 
Lorsque, pour une surface, on a 
ds 2 — pdu 2 + gHv % , 
l'équation différentielle des lignes de longueur nulle (dszzzO) 
est 
fdu ± idv zz . 
Dans le cas actuel, où l'on a 
ds 2 = ïî(du 2 + dv*) 
cette équation différentielle devient 
du ± idv zz . 
Il en résulte, pour l'équation en quantités finies, 
u dfc itt zz constante. 
L'équation générale des lignes isotropes est donc, pour le pre- 
mier système, 
M + î'DZa. 
et, pour le second , 
u — iv zz p , 
a et g désignant des constantes arbitraires qui sont les para- 
mètres caractéristiques des lignes isotropes. 
Si l'on connaît les coordonnées d'un point quelconque de la 
surface en fonction de w et d, on pourra obtenir ces mêmes 
coordonnées en fonction de a et (3, car les équations précé- 
dentes donnent 
a + fi 
^ = — , 
w 
