182 MÉMOIRES. 
et le point sera réel si les valeurs de a et (2 sont imaginaires 
conjuguées. 
Les raisonnements qui précèdent supposent uniquement que 
le réseau (w, v) est isométrique. Les quantités a et p sont les 
coordonnées symétriques imaginaires de Bour. 
Appliquons ces résultats aux élassoïdes à lignes de courbure 
planes, en partant d'abord du cas général. 
47. Lignes isotropes des élassoïdes à lignes de courbure 
planes. — Les équations (27) donnent 
x zz — (cos ha -|- cos h$) , 
(30) ( y -— 57-: — - [(a — cos h sin ha) -f- (P — cos & sin /$)] , 
[(a cos ft — sin ha) — ((J cos â — sin ^p)] , 
2i sin ft 
pour les coordonnées d'un point de la surface exprimées en 
fonction des paramètres caractéristiques de ses lignes isotropes. 
Si l'on donne à a deux valeurs constantes a t et a 2 , on voit 
immédiatement que les deux lignes correspondantes sont iden- 
tiques, à une translation près. On verrait, de même, que les 
lignes isotropes du système ((J) sont deux à deux égales et 
homothétiques. 
Ces lignes sont d'ailleurs transcendantes, dans le cas actuel. 
Il s'agit maintenant d'engendrer la surface, par le procédé de 
M. Sophus Lie, à l'aide de lignes isotropes, homothétiques aux 
premières dans le rapport de 2 à 1. 
Considérons les lignes isotropes de l'élassoïde correspondant 
aux valeurs p == , a zz . Déplaçons ensuite ces courbes 
parallèlement à Oœ d'une longueur égale à — — , et construi- 
sons les courbes homothétiques de celles-ci par rapport à l'ori- 
gine, le rapport d'homothétie étant égal à 2. Nous obtenons 
