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MEMOIRES, 
de symétrie rectangulaires, les sections de la surface par ces 
plans sont, en même temps, des lignes de courbure et des géo- 
désiques; de plus, les projections des lignes isotropes généra- 
trices sur ces plans de symétrie sont des courbes identiques 
aux géodésiques elles-mêmes. Il résulte de là que lorsque les 
lignes de courbure contenues dans les plans de symétrie sont 
données, les lignes isotropes de l'élassoïde sont déterminées, 
ainsi que cet élassoïde lui-même. D'ailleurs, ces deux lignes de 
courbure ne sauraient être prises arbitrairement, puisqu'elles 
doivent être les projections d'une ligne isotrope. Il existe donc 
des relations géométriques entre ces lignes de courbure, qui 
sont en même temps, des géodésiques. Ces relations ont été 
données par M. Ribaucour dans l'important travail dont nous 
avons parlé en commençant et auquel nous renvoyons le lecteur. 
51. Surfaces à lignes de courbure planes dont les rayons 
de courbure principaux ont entre eux une relation linéaire. 
— Les élassoïdes étudiés précédemment sont un cas particulier 
des surfaces à lignes de courbure planes, dont les rayons de 
courbure vérifient une relation de la forme 
Aç w + Bç v + G = . 
Nous allons démontrer que les surfaces à lignes de courbure 
planes dont les rayons de courbure sont liés par cette relation 
sont nécessairement des sphères, des élassoïdes ou des surfaces 
parallèles à ces élassoïdes. 
Proposons-nous d'abord de rechercher les surfaces à lignes 
de courbure planes, pour lesquelles les rayons de courbure 
principaux présentent un rapport constant, c'est-à-dire ont 
entre eux la relation 
m désignant la valeur constante de ce rapport. Les formules 
(20) et (22) montrent que l'équation de condition est 
( (U' sin hu — U cos Uu) -f- (V sin v -f V" cos v) cos h ) 
(a) j-(V + V") cos hu — m [(U' sin hu — U" cos hu) ( = . 
( -\- (U" — U) cos h cos v -\- (V sin v — V cos v) cos h] ) 
