DES SURFACES. 189 
En différentiant successivement par rapport à u et à v, il 
vient d'abord 
) ( u,/ — u ) sin ^ — ( v + v ")sin^ ) 
W / — m(U' — U'") (cos hu — cos.ftcost?) | " 
et ensuite 
U'" — U' V + V" 
(ï) 
sin hu m cos h sin v 
On déduit de là que ces deux rapports doivent être égaux à 
une même constante a. Ainsi 
U"' _ u' z= a sin hu , 
V" + V zz am cos h sin v ; 
d'où, en intégrant, une première fois, 
U" — U zz a cos hu + b , 
V" + V zz — am cos fc cos v + &' • 
Or, si l'on substitue ces valeurs dans la relation (P), qui doit 
être une identité en u et t?, on trouve que les constantes doi- 
vent vérifier les conditions 
& = &', 
a (1 + m) = . 
La seconde égalité peut avoir lieu de deux manières, soit en 
supposant m zz — 1 , auquel cas la surface est un élassoïde, 
soit en supposant 
a — . 
Examinons cette seconde solution. Puisque a zz: , et que 
d'ailleurs b=.b' . 
U" - U zz b , 
V" + V zz & . 
