190 MÉMOIRES. 
En intégrant, on trouve, avec quatre constantes arbitraires, 
, U =z A cos hu -f- B sin hu — b , 
V zz A' cos v + B' sin v -\- b . 
Portant ces valeurs dans (a), cette équation de condition donne 
(A + A' cos h) (1 — m) zz , 
ce qui exige que Ton ait m zz 1 , ou A = — A' cos k . 
Si m zz 1 , la surface est une sphère, d'après un théorème 
bien connu. (Traité de calcul différentiel, de M. J. Bertrand, 
p. 714.) Nos formules conduiraient d'ailleurs à ce résultat. 
Si A zz — A' cos k , l'équation tangentielle de la surface (11) 
devient 
x (cos Uu cos h — cos v ) + y sin h sin hu -f- z sin k sin v 
= — A' (cos hu — cos k cos v) -f- B sin hu -\- B' sin i? , 
ou 
(œ + A') (cos hu cos ft — cos v) -f- (?/ sin ft — B) sin /m ) 
-|-(^sinft — B')sinv \ ' 
et l'on reconnaît, dans l'enveloppe, une sphère de rayon nul. 
Le cas où l'image sphérique est formée par le réseau spécial 
se traiterait de la même manière et conduirait à la même con- 
clusion. 
Donc : Lorsqu'une surface dont toutes les lignes de cour- 
bure sont planes est telle que le rapport des rayons princi- 
paux de courbure soit constant, cette surface est un élas- 
soïde ou une sphère. 
52. — Prenons maintenant la relation générale 
A Çu + Bç v -f G 2± . 
