DES SURPAGES. 191 
On peut l'écrire 
A(ç tt + a) + B(ç<, + a) = 0, 
en déterminant la constante a par la condition 
a(A + B)+C = 0, 
ce qui est possible pourvu que la somme A + B ne soit pas 
nulle. 
En nous plaçant d'abord dans ce cas, nous voyons que la 
surface dont les rayons de courbure principaux ont pour valeur 
q u + a , q v + a est parallèle à la première, ce qui prouve que 
ses lignes de courbure sont planes et que, de plus, le rapport 
de ces rayons de courbure est constant. 
D'après ce qui précède, cette seconde surface est une sphère 
ou un élassoïde. Donc la surface proposée est aussi une sphère 
ou une surface parallèle à un élassoïde. 
Si A = — B , la relation prend la forme 
ç u — çv = constante = H . 
En reprenant les calculs du numéro précédent, on trouverait 
les équations (a), (£) et (y), avec cette seule différence que le 
second membre de l'équation (a) serait une constante H et que 
la valeur de m serait remplacée par l'unité. On devrait donc 
avoir 
b — V , 
azzO . 
Par suite, les valeurs de U et V ont les formes (5) du numéro 
précédent. Mais en portant ces valeurs dans la nouvelle relation 
(a) , savoir : 
(U' sin hu — U cos hu) -f (V sin v + V" cos v) cos k ) 
— (V + V") cos hu — |_(U' sin hu — U" cos hu) [ zz H , 
-f (U* — U) cos h cos v) + (V sin v — V cos v) cos /{ ) 
