SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIETES. 401 
courbes telles que les cosinus des deux angles formés par la 
tangente de chacune d'elles avec le plan osculateur de l'autre 
sont dans le môme rapport que leurs angles de contingence. Un 
second théorème est encore démontré, en vertu duquel le pro- 
duit des mêmes cosinus est égal au cosinus de l'angle des deux 
plans osculateurs. 
§1. 
Expression de V angle de contingence et du rayon de courbure 
de la courbe lieu des centres de courbure d'une courbe 
gauche. 
1. Désignons par U une courbe quelconque, par U' le lieu 
de ses centres de courbure, par M et M' deux points corres- 
pondants de ces courbes, ayant pour coordonnées (œ, y, z) , 
(#', ?/', z') , les axes étant supposés rectangulaires. Considérons 
le système de trois droites rectangulaires , formé par la tangente 
MT à la courbe U , sa normale principale MN dirigée vers le 
centre de courbure, et l'axe MP de son plan osculateur. Soient 
(a, p, y), (X, h, v), (Ç, y}, 8) les angles que font respecti- 
vement avec les parties positives des axes les droites MT, MN , 
MP ; s, o), p, r l'angle de contingence, l'angle de torsion, le 
rayon de courbure et le rayon de torsion de U ; e', u>', p', r' 
les quantités analogues pour U' ; ds l'élément de l'arc de U , 
et ds' l'élément de l'arc de U'. 
Considérons en outre le lieu des centres des sphères oscula- 
trices de la courbe U , et désignons-le par Y ; soit L le point 
de la courbe V correspondant au point M de U. Au point L 
l'angle de contingence de V est égal à l'angle de torsion o> de 
U, et l'angle de torsion de V est égal à l'angle de contingence 
de U. On sait que le rayon de courbure p de U est la perpen- 
diculaire abaissée du point M sur la tangente de V en L ; il 
est de plus contenu dans le plan osculateur de V, puisque ce 
plan coïncide avec le plan normal de U. Il en résulte évidem- 
ment que la normale principale de V en L est parallèle à la 
normale principale de U en M ; ainsi les mêmes angles X, p, v 
8 U SÉRIE. — TOME X. 26 
