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On connaît d'ailleurs les valeurs des quantités i et s' contenues 
dans ces formules. 
7. Les expressions de ds\ p' et 0' donnent lieu à un rappro- 
chement qu'il n'est pas inutile de remarquer. Posons ywzzQ, 
ce qui permettra de remplacer w par dû . Concevons une courbe 
plane située dans le plan des xy et telle que p et Q soient les 
coordonnées polaires d'un quelconque de ses points, en prenant 
l'origine pour pôle et l'axe des x pour axe polaire : désignons-la 
par U x . 
L'élément de l'arc de cette courbe sera 
Ydp 2 + p 2 dQ 2 ou Ydçfi + P V , 
de sorte qu'il est égal à l'élément de l'arc de la courbe lieu des 
centres de courbure de la courbe gauche considérée. Donc aussi 
les arcs correspondants de la courbe plane et du lieu des cen- 
tres de courbure sont égaux, pourvu qu'ils soient comptés de 
deux points fixes qui se correspondent. 
Il faut noter encore que la cotangente de l'angle formé par la 
tangente de la courbe Ui avec son rayon vecteur p a pour 
valeur - *~ , c'est-à-dire — ou tang i ; d'où il résulte que 
p ail pw 
cet angle est égal à - — i ou à l'angle que fait la tangente de 
la courbe U' avec le rayon de courbure de U. 
Soient ç> t le rayon de courbure de LY et e t son angle de 
contingence. Sa courbure — sera déterminée par la formule 
Pi 
connue 
1 __ 9 2 dOJ + 2dQd 9 2 + pdpd*ù — ?dùd 2 p 
P 1 " (dp* + p*dù 2 )i 
_ p 2 o) 3 + 2udp 2 -\- pdpdiù — piùd 2 p 
(^p 2 + p 2 w 2 )i 
