527 
1° Le cône du complexe ayant pour sommet un point situé 
à distance finie est toujours du sixième ordre. Ce cône se 
décompose seulement dans le cas où son sommet est le centre 
de la quadrique, et l'on obtient alors un cône du quatrième 
ordre avec le cône asymptote de la surface proposée. 
2° Lorsque le sommet du cône est rejeté à l'infini, ce cône 
se décompose en un cylindre du second degré et le plan de 
l'infini considéré comme plan quadruple. 
3° Il y a exception pour sept points qui sont les points prin- 
cipaux ou les points d'indétermination du complexe, savoir 
les trois points situés à l'infini sur les axes de la quadrique 
et les quatre points d'intersection de l'ombilicale avec la qua- 
drique donnée. Toutes les droites issues de ces points sont 
directrices doubles, c'est-à-dire directrices de deux sections 
planes. 
4° Le cône du complexe ayant pour sommet un point quel- 
conque situé à distance finie admet sept génératrices doubles, 
savoir les droites joignant son sommet aux points principaux. 
Il en résulte que ce cône est de la seizième classe. 
5° La courbe du complexe contenue dans un plan est de la 
sixième classe et, en général, du dixième degré. Elle admet 
une tangente quadruple, savoir la droite de l'infini et quatre 
tangentes doubles. De plus, cette courbe est homofocale à la 
section de la quadrique par le plan qui la contient. 
6° Si le plan est parallèle à l'un- des axes de la quadrique. 
sans être un plan cyclique, la courbe du complexe se décom- 
pose en un point double et une courbe de la quatrième classe 
et du sixième degré, qui est encore homofocale à la section 
correspondante de la quadrique. 
7° Dans le cas où le plan est parallèle à l'un des plans prin- 
cipaux de la quadrique, la courbe du complexe se décompose 
en deux points doubles et une conique ayant les mêmes foyers 
que la section de la surface par le plan considéré. 
8° Enfin, si le plan est cyclique, la courbe du complexe est 
formée de l'ensemble de trois points doubles qui sont les points 
d'indétermination contenus dans le plan. 
L'auteur déduit ces résultats de la considération du cercle 
au moyen duquel Laguerre représente un segment imaginaire 
dans l'espace, et le théorème fondamental qu'il en déduit est 
celui-ci : 
