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son nom, et cette solution fut à cette époque un immense pro- 
grès de l'analyse. Beaucoup de géomètres s'en sont occupés à 
sa suite ; mais c'est à Gauchy que revient l'honneur de lui avoir 
donné la précision qui lui a trop longtemps manqué, en déter- 
minant les limites de la convergence de cette série. 
La question générale, ou à peu près générale, n'a été abordée, 
je le crois du moins, que dans ces derniers temps. M. Gomez 
Teixeira {Journal de mathématiques, année 1881) a pris 
l'équation sous la forme 
yznt-\- a t x + a^x 3 -j- a 3 x 3 -f , 
a t , a 2 , a 3 étant des fonctions de ?/, et il a donné pour solution 
une série qui est développable par rapport aux puissances 
entières et croissantes de la variable, c'est-à-dire dans un cer- 
tain cercle, qui n'est plus la série de Lagrange, et qui est assez 
compliquée puisqu'elle est à double entrée. Mais il se dispense 
de déterminer le plus grand rayon du cercle, qui, ainsi qu'on le 
verra, ne correspond plus nécessairement, comme dans le cas 
considéré par Gauchy, au premier point pour lequel l'équation 
prend des racines égales. 
Dans le Mémoire inséré au Journal de V École polytechnique, 
la question est résolue dans toute sa généralité, et on croit pou- 
voir ajouter dans toute sa simplicité. En voici le résumé aussi 
succinct que possible : 
Soit une fonction y de x définie par l'équation algébrique 
à deux variables imaginaires y et a?, que l'on suppose entière 
et irréductible. On marque sur un plan Y et sur un autre plan 
X les valeurs de y et x pour lesquelles l'équation prend des 
racines égales ou infinies, c'est-à-dire les points singuliers. 
On sait, par la méthode de Puiseux, déterminer les formes 
des séries qui ont lieu en ces points. Dans le Mémoire dont il 
s'agit, elles sont distinguées en séries de première espèce et de 
deuxième espèce. Les séries de première espèce sont celles dont 
les exposants sont fractionnaires, comme 
l t + 1 
x — cL — a(;y — H) +«,(# — p) -f 
