BULLETINS DES TRAVAUX DE L'ACADÉMIE. 531 
ou bien à exposants entiers et devenant à exposants fraction- 
naires par l'inversion, comme, par exemple, 
• a? — a = a(2/ — 0) +ai(V—$) + 
d'où par l'inversion on déduit 
1 2 
y— p-za'(a? — a) +a? t (œ — *) + 
Une série de deuxième espèce a la forme 
x — a. — a{y — $) + a % {y— g) 2 + ; 
mais elle ne peut être isolée, puisque à une valeur de x ne cor- 
respondrait qu'une valeur de y, et réciproquement ; et le point 
a ne serait pas un point singulier sur le plan X pas plus que le 
point £ sur le plan Y ; une telle série correspondant à un point 
singulier en suppose au moins une autre telle que 
Une série isolée telle que 
x — xt — a(y — y t ) + a t (y — y x f -f- 
n'appartient qu'à un point unique du plan et à son correspon- 
dant ; c'est la série de Taylor. 
Le point {fi , a) (fi sur le plan Y , a sur le plan X), correspon- 
dant à une ou plusieurs séries de première espèce, est dit point 
singulier de première espèce. Le point singulier ((J, a), corres- 
pondant à plusieurs séries à exposants entiers, est dit point 
singulier de deuxième espèce. Le point correspondant à une 
série de Taylor n'est pas un point singulier. 
Cela posé, (x t y t ) étant une solution de l'équation f(y t x)=zO 
non confondue avec un des points singuliers, on remplace dans 
cette équation x par x t + x — x x , y par y { + y — 2/i , et 
l'équation proposée peut être mise facilement sous la forme 
y — y l — (x — x t )G(y — y t , x — x x ). 
