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C'est cette équation, qui est à peine une transformation de la 
première, qui, comme elle, admet la solution (x t y t ) ne coïnci- 
dant pas avec un point singulier, dans laquelle la fonction G- 
est une fonction rationnelle dont le numérateur est un polynôme 
qui ne devient nul ni pour x ~ x x ni pour y ~y t et dont le 
dénominateur est un polynôme en y seulement qui ne devient 
pas nul pour y — y t , c'est cette équation qui dans le Mémoire 
est plus généralement employée que l'équation f(y, x) zz . 
Au fond, ce n'est guère qu'un changement de notation, qui fait 
que l'on peut employer tour à tour l'une pour l'autre, N suivant 
les besoins. 
Maintenant, on décrit sur le plan X, autour du point x i . l un 
contour A , dont l'équation est 
1 clG , 
dx 
r. 
i , _ J, . . «/ (jr dX 
ModCO? — œt)e :T 
x étant l'affixe d'un point de ce contour. Dans cette équation, 
l'intégrale est de forme abélienne, et il faut y supposer la 
variable y remplacée par son expression en x tirée de l'équa- 
tion y — y i zz.{x — x a )(j . La constante introduite dans le 
premier membre de l'équation du contour A est ce que devient 
la fonction G-, quand on y fait à la fois œ zzzw t 5 y rzy t . La 
constante réelle et positive T est ce que devient le premier 
membre quand y fait œ zz a , a étant le premier des points 
singuliers de première espèce que rencontre le contour A quand 
on fait croître T à partir de zéro. Enfin l'intégrale f — — ^ dx 
»/ . vJT (XX 
est prise de manière à être nulle pour x — x t ; et dans ces 
limites elle reste uniforme. 
Le contour ainsi tracé est le contour de convergence de la 
série 
, ; x — x t do (x—Xi) 2 d do ^ , 
laquelle résout la question proposée pourvu qu'on y fasse après 
les différentiationsi/ — y v On reconnaît là la série de Lagrange 
sous la forme consacrée par l'usage. Il faut cependant noter 
