BULLETINS DES TRAVAUX DE L' ACADÉMIE. 533 
une différence bien minime entre la série que présente l'auteur 
et la série de Lagrange. La fonction G, par sa définition même, 
contient le plus souvent y v Dans le cas où il n'en est pas ainsi, 
on peut faire y — Vi, avant les différentiations, et c'est ainsi 
qu'est présentée ordinairement la série de Lagrange. En restant 
dans le cas général, ce n'est qu'après les différentiations que 
cette opération doit être faite. Quant à la fonction 9(2/, a?) que 
représente cette série, c'est une fonction de la variable x qui 
reste dans le contour A et d'une racine y de l'équation pro- 
posée, laquelle reste dans un contour B correspondant du con : 
tour A ; elle ne prend d'ailleurs ni valeur infinie ni valeur 
multiple pour ces valeurs de x et de y . 
L'équation du contour B qui correspond au contour A est 
— rr-r-dy 
miu.i'/ v J ht ay 
Modiy—y^e = JT , 
et il faut y supposer x remplacé par son expression en y tirée 
de l'équation proposée. 
Cette solution est tirée d'une intégrale définie 
fr* = 55rj y — yi — fr-xJG 
'qui forme à certains égards une solution plus générale que la 
série de Lagrange. Car l'intégration s'y fait suivant le contour B, 
qui est arbitraire en partie puisqu'il est tracé sur le plan Y 
autour du point y t , avec la seule condition de ne pas dépasser 
un point singulier de première espèce ; alors les valeurs de x 
sont comprises dans un contour A, qui correspond, en vertu 
de l'équation proposée, au contour B, de même que le contour 
B correspond au contour A. Mais dans cette intégrale définie 
les équations des contours A et B ne sont pas déterminées, 
tandis qu'elles le sont dans La série ; et à ce point de vue l'inté- 
grale définie peut être plus utile analytiquement que la série. 11 
foui ajouter que Cauchy a fail déjà un grand usage de cette 
intégrale définie, mais dans le cas seulement où l'équation pro- 
posée ne contient qu'une variable. 
