534 SÉANCES DE JANVIER. 
A la valeur y t de y que nous avons considérée correspondent 
n valeurs x i ^x< î - ) x 3 ... de à?, n étant le degré de l'équation 
proposée par rapport à x. Si l'on remplace dans cette équation 
x par x i + (x — oci), par x 2 +(x — a? 2 ), par x 8 -\-(x — # 5 )..., 
on a pour une même valeur de |/,, n fonctions désignées 
ci-dessus par la notation G. Il y a ainsi n séries comme la 
série ci-dessus, chacune d'elles étant convergente dans un con- 
tour correspondant analogue au contour A . 
Ce contour A ou tout autre contour analogue partage le plan 
en deux régions : la première dans laquelle la série est conver- 
gente; la seconde dans laquelle elle est divergente. Ce n'est qu'à 
un contour ainsi défini qu'on peut donner le nom de ce contour 
de convergence, et tout autre contour de convergence est une 
limite relative qui en suppose une plus grande. 
L'auteur démontre, de plus, dans ce Mémoire, que la série de 
Lagrange est la seule série à simple entrée qui résolve le pro- 
blème proposé ; que toutes les autres que l'on peut obtenir sont 
des séries à double entrée ; que leurs contours de convergence 
sont compris dans le contour de la série de Lagrange, qui est 
ainsi le plus grand de tous ; que, dans le cas des séries à double 
entrée, c'est la condition de convergence qui détermine la série 
et que cette série change avec cette convergence ; qu'en consé- 
quence, vouloir, suivant la vieille habitude, déterminer la con- 
vergence pour une série donnée à priori, c'est à peu près 
prendre la question à l'envers ; les deux questions sont insépa- 
rables analytiquement. 
En particulier, la série de M. Gomez Teixeira, dont il a été 
parlé au commencement de cet article, fait partie de ces séries 
à double entrée ; et la condition de convergence négligée par lui 
est donnée parle plus grand cercle décrit dans le contour A, 
ou plutôt dans l'un des contours A . La série elle-même s'écrit 
,.v" , vi dP~ l do a t t>i CLoP* a*P3 
le signe S s'étendant à toutes les valeurs entières et positives 
qui satisfont aux deux équations : 
Pi + 2i? 2 + 3i?3-r- ... = n, 
P1+P2+P3 + —P-> 
