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coniques; ils s'appliquent sans modification à la recherche des 
caractéristiques des systèmes de courbes d'ordre quelconque, 
pourvu que l'on connaisse les caractéristiques des systèmes élé- 
mentaires, c'est-à-dire des systèmes dans lesquels les conditions 
consistent pour les courbes à passer par des points ou à toucher 
des droites, et pourvu que le nombre des courbes d'un système 
{\)., v) qui satisfont à une dernière condition Z soit exprimable par 
une formule telle que a[j. + ,8v . 
§ 5. — Application. — Soit à trouver le nombre des cour- 
bes d'un système ([/, v) qui touchent une courbe algébrique 
donnée d'ordre m et de classe n. (Démonstration de Clebsch.) 
Lemme. — Le lieu des points de contact des tangentes issues 
d'un point P à toutes les courbes d'un systèm^e ([x, v) est une 
courbe d'ordre \h -\- v qui a un point multiple d'ordre \k 
en P . 
Menons par le point P une droite quelconque PX et cherchons 
combien il y a de points du lieu sur cette droite. Il y a d'abord v 
points qui proviennent des v courbes du système tangentes à PX, 
et comme \). courbes passent par P, les tangentes menées de P à 
ces courbes rencontreront PX en \x points coïncidant avec P . Il 
y aura donc sur PX en tout [j. + v points du lieu, dont \x coin 
cideront avec P . 
Cela posé, considérons une courbe algébrique C^^ d'ordre m et 
de classe n et un système (\)., v). 
Prenons une droite D quelconque et un point œ arbitraire sur 
D ; de ce point oo on peut mener à la courbe n tangentes et par 
chacun des n points de contact passent [x courbes du système ; si 
l'on mène des tangentes à ces n\K courbes en chacun de ces points, 
on aura ny. tangentes qui couperont D en n\L points y. On voit 
bien que si un point y vient à coïncider avec œ on aura une 
courbe du système (;/, v) qui sera tangente à C^. D'où il suit que 
la recherche du nombre des courbes du système tangentes à C^ 
revient à la recherche des coïncidences des deux séries de points 
correspondants œ ei y sur D. Le principe de correspondance nous 
donnera la solution de cette question. 
