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veloppe est 2{m — r) (m — 1) , et si X =i — 1, elle est égale à 
(m — r) (m ■— 1) seulement. 
Théorème. — Le lieu des points de rencontre des tan- 
gentes aux extrémités des cordes AA' est une courbe d'ordre 
2(n — 1) (m •— r) , n désignant ta classe de la courbe donnée. 
Cherchons combien il y a de points du lieu sur une droite 
donnée L. Soit A un point quelconque pris sur la courbe donnée, 
joignons OA et menons la droite correspondante OA' qui ren- 
contre la courbe en m — r points A' ; menons de chacun d'eux 
une tangente qui rencontre L en m — r points oc, de chacun de 
ces points œ on peut mener à la coitrbe {n — 1) (m — r) tan- 
gentes qui touchent la courbe en autant de points a ; il est clair 
qu'à chaque coïncidence d'un point A avec son correspondant a 
correspondra sur L un point ^ du lieu. Mais 
à un point A correspondent {m — r) {n — 1) points a ; 
à un point a correspondent {m — r)(n — 1) points A , 
donc 2(m — r) (^ — 1) coïncidences. Tel est l'ordre cherché. 
Dans le cas particulier où la courbe donnée est une conique , le 
lieu est une conique. 
CHAPITRE IV 
SUR LES CONTACTS d'ORDRE SUPERIEUR 
Soit à trouver le nombre des coniques qui ont un contact 
d'ordre supérieur avec une courbe donnée d'ordre m et de classe 
n, et ne possédant que des singularités ordinaires, points doubles, 
points de rebroussement, tangente.* doubles, tangentes de rebrous- 
sement, de telle façon que 
a = 3n + <i' = 3m -f ^' {F'ormules de Plûcher). 
m désignant l'ordre, n la classe, d' le nombre des points de re- 
broussement, t' le nombre des tangentes d'inflexion. 
Cherchons combien il y a de coniques qui ont avec une courbe 
donnée C^ un contact du cinquième ordre. 
