ETUDE SUR LE PRINCIPE DE GORRESPONDvVNXE. 247 
Le nombre des coniques ayant avec deux courbes données CJJ, , 
Cil' un contact du même ordre est évidemment égal à la somme 
des nombres qui représentent combien il y a de coniques tou- 
chant séparément ces deux courbes. Mais ces nombres sont des 
fonctions de m, n^ a. On aura donc, en désignant par ç la fonc- 
tion cherchée, 
?(m -\- m' , n -{- n' , y, -\- a/) — ^(m , n , a) + ç(m', n', a') 
c'est-à-dire que la fonction 9 sera telle que 
9(m + m', n -\- n', a -\- ûl') — ç(m, n, a) — o{7n', n', a') = O 
La solution sera 
o{m , n, y) = am -\- hn -{- ct. 
a, b, c étant des constantes. 
Et comme la solution est symétrique relativement k 7n ei n, on 
en conclut que a = & ; d'où 
(p(m, n, a) = a(m + n) + c% . 
Il suffit, pour déterminer les constantes a ei c^ de prendre une 
courbe particulière, par exemple, une cubique, dans laquelle on 
a : 
m = 3 ; n = 6, 4, 3 . 
Or, on sait, dans ce cas particulier, que le nombre des coniques 
qui ont un contact du cinquième ordre avec la courbe est égal 
au nombre des tangentes qu'on peut mener des points d'inflexion 
à cette courbe, c'est-à-dire qu'il est égal à 27 pour une cubique 
quelconque, à 3 pour une cubique à point double, et à pour une 
cubique à point de rebroussement. Donc, on a entre a et c les 
trois équations de condition 
da + 18c = 27 
7a + 12c = 3 
6a -f 10c = 
d'où l'on tire a —. — 16 , c = 9 
et 9(m, n, a) m dx — 15(m -f- n) . 
Si l'on suppose que la courbe C]'^ n'ait ni points doubles, ni 
