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points de rebroussement, on a a = 3m = 3n , nzn m{m — 1) 
et cp(m, n, a) = m(12m — 27) . 
Ces points ont été appelés points seœtatiques par M. Cayley, 
et c'est à cet illustre géomètre que nous avons emprunté la 
démonstration si élégante qui précède. 
CHAPITRE V 
APPLICATION DE LA THEORIE DES CARACTERISTIQUES AUX SYSTEMES 
DE COURBES TRANSCENDANTES 
§ 1. -- On sait qu'une équation différentielle du premier ordre 
représente un système de courbes. Nous pourrons appeler \j. et v 
les caractéristiques de ce système. En général, les courbes de la 
famille seront transcendantes, mais lorsque 'les théorèmes dé- 
montrés ne dépendent ni de l'ordre, ni de la classe des courbeb, 
ils sont encore vrais pour les courbes transcendantes du système. 
Soit, par exemple, l'équation de Jacobi 
-S+«("-s) + «=« 
où P, Q, R sont des fonctions linéaires de œ et de y. On voit 
immédiatement que les courbes qui sont définies par cette équa- 
tion différentielle appartiennent au système dont les caractéris- 
tiques sont 1 et 1. En effet, soient x' , y' les coordonnées d'un 
point quelconque du plan ; si l'on remplace dans cette équation 
œ eiy par œ' et y\ on aura une seule valeur pour -—• ; donc une 
CtûC 
seule courbe passera par le point en question, donc jj. = 1 . Soit 
maintenant une droite donnée L , cherchons combien de courbes 
du système sont tangentes à cette droite ; cette droite aura pour 
coefficient angulaire -— et pour ordonnée à l'origine y — oc-~ , 
dœ 6.x 
donc, si l'on appelle a l'ordonnée à l'origine, et x' ^ y' les coor- 
