ETUDE SUR LE PRINCIPE DE CORRESPONDANCE. 251 
Théorème. — Le lieu des points de contact des tangentes 
menées à ces courhes d'un point donné P est une cubique 
qui a pour point double le point P . 
Théorème. — - Le lieu des points de rebroussement des 
courbes du système est une courbe du quatrième ordre. 
On sait que l'équation R iz: qui exprime que l'équa- 
tion (1) a ses racines égales, lorsqu'on la résoud par rapport 
à p , représente, en général, le lieu des points de rebroussement 
des courbes du système (Larbouœ). Dans le cas particulier où 
ces courbes ont une enveloppe , l'équation R z= représente 
l'enveloppe. En effectuant le calcul , R paraît être un polynôme 
du sixième ordre; mais les termes du cinquième ordre et ceux 
du sixième disparaissent et on obtient, en réalité, une équation 
du quatrième degré. 
La courbe R ne représente l'enveloppe des courbes du système 
que dans le cas particulier où ces courbes sont des coniques et on 
a des coniques inscrites dans un quadrilatère. 
Ce dernier cas peut toujours être ramené par une transforma- 
tion homographique au cas où deux des sommets du quadrilatère 
sont les points circulaires de l'infini, et on a alors un système de 
coniques homofocales. Dans ce cas, l'équation (1) prend la forme 
pxy + y.œ -\- b'^p — 
b^ désignant une constante , ou bien , en résolvant relativement 
k p: 
— ooyp^ + (2/2 — X- + b"^) p -{■ xy — . 
On trouve parmi les courbes du système (2,1) un système 
orthogonal qui comprend aussi bien des courbes algébriques que 
des courbes transcendantes et qui jouissent de propriétés inté- 
ressantes. Dans le cas où ces courbes sont algébriques et de 
classe n y on a le théorème suivant qui est la généralisation du 
théorème de Chasles relatif aux coniques : 
Théorème. — Le lieu géométrique des points d'intersection 
des tangentes menées de deux points fixes V et Q à toutes 
les courbes algébriques d'un système ([J-^ v) est une courbe 
