ÉTUDE SUR LE PRINCIPE DE CORRESPONDANCE. 253 
On voit que l'équation est satisfaite, quelle que soit la valeur 
dy 
de — par les coordonnées des points communs aux deux courbes 
dx 
P = Q = . 
Ces points peuvent être appelés les points singuliers du sys- 
tème. Dans le cas particulier des spirales logarithmiques, les 
points singuliers sont les points circulaires de l'infini et le pôle. 
Ces points sont des points asymptotiques. 
De même si l'on considère le système orthogonal de courbes 
compris dans (2, 1), son équation différentielle sera de la forme : 
P(252 — 1) + Q =z O . 
Les courbes P et Q sont des coniques et les points communs à 
ces coniques qui coïncident avec les trois sommets d'un triangle 
et avec le point de concours des hauteurs sont également des 
points singuliers du système. 
Application. — Soit à trouver le nombre des courbes d'un 
système (ja , v) qui touchent une courbe donnée d'ordre m et 
de classe n, dans le cas particulier où il existe sur cette 
courbe un certain nombre de points singuliers du système. 
Rappelons la démonstration de Clebsch : 
Prenons sur une droite D un point x d'où nous menons n tan- 
gentes à la courbe, par chaque point de contact passent [x courbes 
du système, [jl tangentes à ces courbes qui coupent D en n\x 
points y . 
A un point x correspondent n\j. points y . 
Prenons un point y, le lieu des points de contact des tangentes 
à toutes les courbes du système menées du point y est une courbe 
d'ordre {j. + v qui coupe la courbe proposée en m(\x -\- v) 
points d'où l'on mène autant de tangentes à cette courbe, cha- 
cune de ces tangentes rencontrant D en un point x , donc 
à un point y correspondent m{\j. + v) points x . 
Donc en tout n\L + m{[x + v) coïncidences; si l'on retranche 
