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les m\i. coïncidences qui proviennent des points d'intersection 
de la courbe avec D, il reste n\). + mv coïncidences qui sont 
dues : 1» aux courbes du système (a, v) qui touchent la courbe 
donnée ; 2» à la présence des points singuliers. Si Ton désigne 
par (1) le nombre des points d'intersection de la courbe avec le 
lieu d'ordre ([a + v) , en tenant compte du degré de multipli- 
cité de chacun d'eux, le nombre des contacts, et, par suite, le 
nombre effectif de courbes du système ([x, v) qui touchent la 
courbe serai égal à n\h -\- mv — co . 
On voit, par cet exemple, que la détermination de w se trouve 
ramenée à la recherche des points d'intersection de deux courbes 
qui ont des points singuliers communs. Donnons un exemple. 
Le nomJjre des droites issues d'un point quelconque du 
plan et coupant sous un angle de gy^andeur donnée et dans 
un sens de rotation déterminé une courl)e C^, , d'ordre m et 
de classe n , ayant deux points multiples d'ordre r confon- 
dus avec les points circulaires de l'infini est m, -\- n — 2r . 
On reconnaît aisément que le nombre cherché est égal au 
nombre des spirales logarithmiques du système (1 , 1) qui admet 
tent pour pôle le point donné et qui sont tangentes à C^ . 
Or, ces spirales ont pour points simples les points circulaires 
de l'infini, la courbe d'ordre [j. -f ^ = 2 est un cercle qui ren- 
contre la courbe C^ aux points singuliers. Le degré de multipli- 
cité de ces intersections est évidemment égal à 2r , donc 
10 = 2r , et le nombre demandé est égal à w, -{- n — 2r . 
Déterminer en combien de points une courbe algébri- 
que C'4 qui a deux points multiples d'ordre r coïncidant avec 
les iJOints circulaires de l'infini est coupée par une branche 
de courbe d'un système {\x , v) sous un angle donné, dans un 
sens de rotation déterminé. Ce nombre est 
{m -{- n — 2r)a + mv — w . 
Prenons une droite D quelconque et un point x sur cette 
droite D ; par ce point x, on peut mener m -{- n — 2r droites 
coupant la courbe sous un angle donné, en chacun de ces points 
