CONTOURS DÉCRITS AUTOUR DES POINTS SINGULIERS. 297 
j5 de X et de y sont l'une et l'autre finies ; la deuxième, au cas où 
les valeurs de x sont finies et les valeurs de y infinies; la troi- 
sième, au cas où c'est le contraire qui a lieu ; la quatrième, au cas 
où les valeurs de x eide y sont infinies. 
Il y a, comme on sait, d'autres formes de séries, dans les- 
quelles les dénominateurs des exposants fractionnaires vont en 
augmentant jusqu'à un certain nombre limite. Par une raison de 
brièveté, je les laisserai de côté, de même que les cas parti- 
culiers qui correspondent à l'infini. Mais on doit rappeler qu'à un 
point singulier ,S marqué sur le plan Y peuvent correspondre 
plusieurs séries, telles que : 
t /jf 1 
x-y.z:za{y-pf-\-b(y-p) ' +... 
r t' + 1 
x-^' = a'{y~p/+b'(y-p) ^' +,.. 
D'après la dénomination emplo3 ée par Puiseux, les séries pré- 
cédentes représentent des systèmes circulaires à s , s' , s" . . . 
termes, c'est-à-dire qu'il y a s , s\ s" . . . valeurs de x qui se 
permutent successivement dans chacune d'elles autour du 
point p . Quand on suppose un contour suffisamment petit autour 
de ce point, il y a ainsi sur le plan Y des contours correspon- 
dants qui sont tracés autour des points a , a' . . . et qui sont tels 
que le point y ne les décrit entièrement qu'après s , s' , s" révo- 
lutions de la variable x autour du point p . Le nombre de ces 
contours est le nombre des systèmes circulaires. 
Ainsi la nature d'un point singulier (i tracé sur le plan Y est 
déterminée par les formes des séries qui ont lieu autour de ce 
point. Réciproquement, si l'on considère y comme fonction de x , 
la nature d'un point singulier a sur le plan X est déterminée par 
les séries qui ont lieu autour de ce point. 
Nous distinguerons en ces points singuliers des séries de pre- 
