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mière espèce et de deuxième espèce. Les séries de première 
espèce seront celles dont les exposants sont fractionnaires ou 
deviennent fractionnaires par l'inversion. Par exemple , une 
série à exposants entiers, telle que : 
^- « = %- p/ + Hy- p/"^ ^ + . . . 
devient par l'inversion 
1 2 
î/ — P zz: m{x — a) + n{x —-a) + . . . ; 
c'est une série de première espèce. Une série de deuxième espèce 
a toujours la forme 
o) - a =z a(2/ - p) + &(!/ - «2 + . . . , 
mais elle ne peut être isolée, puisque à une valeur de y ne cor- 
respondrait qu^me valeur de x , et réciproquement; et le point a 
ne serait pas un point singulier sur le plan X pas plus que le 
point p un point singulier sur le plan Y . Une telle série corres- 
pondant à un point singulier en suppose donc nécessairement 
au moins une autre 
Une série isolée n'appartient qu'à un point unique du plan et 
à son correspondant. 
Nous dirons aussi que les points singuliers auxquels appar- 
tiennent des séries de première espèce sont des points singuliers 
de première espèce , et que les points singuliers auxquels appar- 
tiennent des séries de deuxième espèce sont des points singuliers 
de deuxième espèce. 
Dans les paragraphes suivants, nous restreignons la question 
aux deux cas suivants, qui suffisent d'ailleurs pour l'objet que 
nous nous sommes proposé : 1» le cas du point singulier de pre- 
mière espèce avec une série unique 
^ ' t_+i t + 2 
s s s 
œ — a = «(?/— p) +«i(2/ — W -{-a^iy—p) ; 
2» le cas du point singulier de deuxième espèce. 
