CONTOURS DÉCRITS AUTOUR DES POINTS SINGULIERS. 331 
les courbes infiniment petites et leur transformation sur laquelle 
nous avons insisté. On serait arrivé aux mêmes résultats en con- 
sidérant un contour quelconque, puisque dans la partie infini- 
ment petite voisine du point a on peut toujours remplacer le 
contour par l'arc de cercle infiniment petit de même courbure. Il 
ne sera donc plus question dans la suite du cercle r, mais de 
contours tracés arbitrairement sur le plan Y et des contours 
correspondants sur le plan X. 
Après cette remarque, j'examinerai les contours sous un nou- 
veau point de vue, pour lequel les considérations des paragra- 
phes précédents seront très utiles. 
Théorème I. — Si sur un plan Y on trace les points singu- 
liers p correspondant à la variable y, et sur un autre plan X 
les points singuliers cl correspondant à la variable œ , et que 
Von décrive sur le plan Y un contour fermé B laissant les 
points p en dehors ; en vertu de l'équation f{yiœ)z^o, cor- 
respondent sur le playi X plusieurs contours A fermés, isolés 
les uns des autres , dont le nomJore est égal au degré de 
l'équation par rapport à œ , qui sont tels qu'à un point y pris 
dans le contour 13 ne correspond dans chacun des contours A 
qu'un point x , et qui laissent en dehors tous les points a , et 
réciproquement. 
A chaque contour B du plan Y correspondent n contours A 
sur le plan X ; et à chaque contour A du plan X correspondent m 
contours B sur le plan Y ; n et m étant les degrés de l'équation. 
C'est tout à fait comme pour les racines de l'équation f(yi x)— o; 
à une valeur de y correspondent n valeur de ce , et à une valeur 
de X correspondent m valeurs de y . 
Démonstration. — Quand dans l'équation f{y , x)i=: o , on 
donne à y une certaine valeur î/^ diflérente des valeurs p, x 
prend des valeurs Xi différentes des valeurs a, dont le nombre 
est égal au degré de l'équation par rapport à x . Quand la varia- 
ble y sans sortir du contour B décrit un petit contour autour du 
point z/i , la variable x décrit des petits contours autour des 
points Xi . Le premier allant en s'agrandissant en s'enveloppan; 
