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théorème que nous avons énoncé doit surtout s'appliquer à la 
démonstration de la série de Lagrange, et cette démonstration, 
ainsi que je le montrerai ultérieurement, exige la réciprocité; 
or, celle-ci n'a plus lieu alors, puisque l'inversion de la série 
nous ramène au cas précédent. Nous dirons donc encore que le 
théorème est arrêté au point a, mais sans oublier que ceci n'est 
exact que pour la proposition réciproque. 
XII. — Considérons maintenant les n contours {n étant le 
degré de l'équation par rapport à x) qui ont lieu quand la variable 
y décrit un contour quelconque qui va toujours en s'agrandissant. 
Le théorème I nous a montré que la variable y décrivant un 
contour B qui laisse en dehors tous les points p, la variable 
X décrit un nombre n de contours A isolés qui laissent en dehors 
tous les points a. 
Nous avons vu ensuite que le contour B passant en un premier 
point p, il se fait une sélection des n contours A. Les premiers, 
ceux pour lesquels on a en ce point p des séries de première 
espèce, subissent aux divers points a correspondant du point p, 
sur l'un au moins des deux plans, des transformations qui les 
réunissent. ensemble et sont pour ainsi dire arrêtés à ces points. 
Les seconds ne rencontrent pas de points a correspondants, ne 
présentent dès lors aucune singularité et s'agrandissent sans 
obstacle. Les troisièmes, pour lesquels on a des séries de deuxième 
espèce, rencontrent au contraire des points a correspondant de 
p, et continuent à s'agrandir après les avoir dépassés ; on conçoit 
alors que ce sont les bases de certaines surfaces convexes qui 
s'agrandissent et se pénètrent, et que ces surfaces se coupent 
deux à deux suivant des lignes de coupure sur lesquelles se trou- 
vent les points a, qui sont ainsi soulevés pour ainsi dire à mesure 
que les surfaces s'agrandissent par leurs bases, de sorte que, 
dans chaque groupe de surfaces correspondant à un point a, ces 
surfaces restent parfaitement distinctes. Tant que le contour 
tracé sur le plan Y n'atteint pas un nouveau point p,, elles con- 
tinuent à s'agrandir comme les secondes, en laissant en dehors 
tous les points a qui ne correspondent pas au point p; et, à chaque 
valeur de y comprise entre le contour B, qui passe par le point p, 
