CONTOURS DÉCRITS AUTOUR DES POINTS SINGULIERS. 341 
et le contour B, , qui passe par le point p, , ne correspond qu'une 
valeur de x comprise sur chacune des surfaces. Afin d'abréger, 
nous nous servirons aussi dorénavant, pour les premiers et les 
seconds contours, de la dénomination de surfaces, et, considérant 
en même temps les deuxièmes et les troisièmes surfaces, nous 
les appellerons les surfaces Ai , leur nombre étant n' . {n' <C n) . 
Maintenant, nous supposerons, en troisième lieu, que le con- 
tour tracé sur le plan Y franchisse un second point fij ; il est 
clair qu'il s'y fait une nouvelle sélection des n' surfaces Ai. Les 
premières, celles pour lesquelles on a en ce point B^ des séries de 
première espèce, sont arrêtées aux nouveaux points a, corres- 
pondant de p^ , selon l'expression que nous avons déjà employée. 
Les deuxièmes, celles qui ne rencontrent aucun des points a, ne 
présentent aucune singularité et s'agrandissent sans obstacle. 
Les troisièmes, celles pour lesquelles on a en ce même point fit 
des séries de deuxième espèce, continuent à s'agrandir et se ren- 
contrent en de nouvelles coupures qui passent par de nouveaux 
points ai correspondant de p, . Tant que le contour tracé sur le 
plan Y n'atteint pas un nouveau point p^, ces deuxièmes et 
troisièmes surfaces, dont nous désignerons le nombre par n" 
(n" <<n'), et que nous appellerons A2, continuent à s'agrandir 
en laissant en dehors les points a du plan X qui ne correspondent 
ni au point p ni au point p, ; et à chaque valeur de y comprise 
entre le contour Bi , qui passe par le point pi, et le contour B^, 
qui passe par le point ,62) chacune des troisièmes surfaces n'a 
qu'une valeur de x correspondante. 
Ces sélections successives et ces rencontres de surfaces tou- 
jours croissantes sont terminées quand le contour du plan Y 
rencontre un plan pp pour lequel il n'y a que des séries de pre- 
mière espèce. Alors nos surfaces ont acquis leur plus grand 
accroissement, et leur nombre est égal à n, parce que chacune 
d'elles s'est agrandie à partir des n contours du théorème I, tout 
en se pénétrant mutuellement. 
Il résulte de là que , si l'on désigne par x, x' , x'\ . . les n 
valeurs de la variable qui correspondent à une valeur de ij 
pourvu que cette valeur de y ne dépasse pas un certain contour 
déterminé, la variable x restera sur une surface que nous appel- 
