CONTOURS DÉCRITS AUTOUR DES POINTS SINGULIERS. 343 
contours liassent en deux points (p , a) correspondants pour 
lesquels on a une série à exposants fractionnaires ou une 
série devenant à exposants fractionnaires par l'inversion ; 
le contour sur le plan X qui passe par le point a forme la 
base de cette surface et indique en même tem,ps la limite du 
théorème. A toute valeur de y située dans le contour B ne 
correspond qu'une valeur de x située sur la surface A ; et 
réciproquement à toute valeur de x située sur la surface A 
ne correspond qu'une valeur de y dans le contour B . Le 
nombre des surfaces A est égal au degré n de l'équation 
par rappoy^t à x . 
Il est bien évident, d'ailleurs, cxue ces n surfaces A dépendent 
du contour B arbitraire et croissant, et qu'elles diffèrent les unes 
des autres selon l'ordre dans lequel se succèdent les points p 
rencontrés par les contours B . La réciproque consiste en ceci : 
que , pour les n surfaces A relatives à un contour B à chaque 
valeur de x ne correspond qu'une valeur de y dans le con- 
tour B, celui-ci étant arrêté au point de première espèce cor- 
respondant au point de première espèce qui arrête le contour 
formant la base de la surface. 
Grâce à cette conception, on peut faire abstraction dans cer- 
taines recherches des points de deuxième espèce, et suivre la 
convergence de séries dans des contours qui se pénètrent mutuel- 
lement, et pour lesquels la fonction qu'elles représentent cesse 
d'être holomorphe. J'espère bientôt en donner un exemple remar- 
quable pour la série qui représente une fonction implicite et qui 
est la même que la série de Lagrange, mais avec un contour de 
convergence bien différent. 
