RECHERCHES SUR LES SURFACES. 435 
Or, le premier membre contenant u^ pour que la valeur de z que 
cette équation détermine soit indépendante de u^ il faut évidem- 
ment que ce premier membre soit nul, d'où résulte la condition 
cot 0) = , ou (A) iz: - . 
ù 
Les trajectoires des méridiennes sont donc orthogonales. Le 
second membre de l'équation précédente doit être nul, ce qui 
donne 
dz 
(;2: + C) cot 0)' + — = , 
dz 
d'où — ; — =z — cot w'c/O , 
z ^G 
et , en intégrant , 
z -\~ G Z ~l~ G y 
log — I— =^ — 9 cot 0)', OU log — h cot G)' arctang - := o ; 
H ri 00 
k désigne une constante arbitraire indépendante de u, puisque 
l'expression de z ne renferme pas cette variable ; l'intégrale peut 
d'ailleurs se mettre sous la forme 
/m . T, — ^ cot 0)' 
(6) z -{- G — he ; 
l'angle w' qui y est contenu est un angle donné quelconque. A 
chaque valeur particulière de h répond une surface, en sorte que 
l'équation (6) représente une famille de conoïdes qui satisfont à 
la question. 
Quant à l'équation, en coordonnées polaires, de la perspective 
d'une trajectoire orthogonale, elle s'obtient immédiatement au 
moyen de la formule t^i = , où u est une constante, 
z ~\~ G 
dz du 
puisque, cot w et — - étant nuls, l'équation (3) donne — - = o . 
Désignons cette constante par h ; l'équation de la perspective de 
a trajectoire sera, en substituant la valeur de z -\- G , 
Gh 6 cot (1)' 
«' = ^ ^ 
