RECHERCHES SUR LES SURFACES. 437 
y 
ou est censé remplace par arctang - . 
L'équation différentielle des lignes de courbure est 
dx + pdz _ dy -\- qdz ^ 
dp ~ dq ' 
nous allons l'appliquer au cas actuel , en mettant à la place de 
x^ y, z, p, q leurs valeurs en fonction de u et 0, ce qui nous 
donnera l'équation différentielle, en coordonnées polaires, de la 
projection d'une ligne de courbure quelconque sur le plan des xy. 
On a : 
dx = COS Mu — u sin M^ , dy = sin Mu + u cos Ocîô , 
dz zz Urne d^ , 
(^0 _ 1 y _ 
dx^ , .y"" oo''~' 
^ X'' 
y sin 
u'^~ u 
dd 11^ 
dy~ y'^ x~~ u'^~ 
COS 9 
" u ' 
dz dz dQ 
~ dx d^ dx ~ 
m9 sin 6 
kîïie , 
u 
dz dz d^ , m9 cos 
Q — -j- — -jt: ^- — ^^^ j 
dy d^ dy u 
par suite 
dx -\- x)dz = cos Mu — u sin M^ e sm M^ 
u 
sin / ^7ïi^ \ 
— cos Mu ( u'^ -h h^w?e ] dd , 
u \ f 
dy -f- qdz = sin Mu + u cos 6(^0 + — - e cos Md 
u 
- sin Mu + ^ (^,2 _^ 7^^^^/^^) dd , 
