RECHERCHES SUR LES SURFACES. 453 
clair que les transformées des méridiennes de S sont les méri- 
diennes de S' ; et comme deux courbes quelconques situées sur S 
se coupent sous le même angle que leurs transformées situées 
sur H', il s'ensuit qu'une trajectoire G sous un angle constant w 
des méridiennes de la première surface a pour transformée une 
trajectoire G' sous le même angle constant w des méridiennes 
de la seconde surface. p]n outre la nouvelle trajectoire G' a pour 
pe rspective une spirale logarithmique, car elle a évidemment 
I^Hme perspective que la trajectoire G dont elle est la transfor- 
^^Be. La surface S' répond donc à la question. 
|^R)ésignons par y la perspective de G, par y' la transformée 
I de Y : cette transformée y' sera située sur la sphère U et cou- 
I pera sous un angle constant w' les transformées du système de 
droites menées de l'origine dans le plan œOy, Or ces dernières 
transformées sont des méridiennes de la sphère, et, par suite, la 
la courbe y'» transformée de la spirale logarithmique y ? coupe 
ces méridiennes sous le même angle constant w'. Il en faut con- 
clure que les trajectoires sous un angle constant w des méridien- 
nes de la surface H' se projettent en perspective, sur la surface 
de la sphère U, suivant des trajectoires sous un angle constant w' 
des méridiennes de cette sphère, c'est-à-dire suivant des loxo- 
(Comtes. 
R|2. Soient œ, y, z les coordonnées d'un point quelconque de 
purface S, et œ\ y\ z' celles du point correspondant de la 
rface S'; si l'on transportait les axes parallèlement à eux- 
mêmes au pôle S pris pour nouvelle origine, les coordonnées du 
premier point seraient ^, t/, ^ + c, et celles du second point 
^'» V\ z' + G. On a, d'après les formules connues, 
v'^x' v'^y' 
y^ 
^'^ + y"" + (z' + C)2 ' ^ ^'2 ^ y'2 ^ ^z' + c) 
_ v^(z' H- c) 
œ''^ + y'^ + {z' -f cy 
^ -^ — ,„ , „ , ^ , , .^ > 
1 et pour obtenir l'équation de 1' il suffira de substituer ces expres- 
sions de oc, y, z-\-c dans l'équation de ^. Les mêmes formules 
