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Il est facile de se rendre compte de la génération de la nou- 
velle surface. Posons, comme plus haut, w' zz /iJ?'^ + 2/'^ ; 
réquation (15) devient 
u-^ + (^' + oY - t i «ot "V + c) =r . 
ri 
Or, si l'on considère un plan méridien quelconque de cette sur- 
face, lequel est déterminé par la valeur de G, les quantités 
u' et ^' + c sont les coordonnées d'un point quelconque de la 
courbe méridienne par rapport à S^ et à la perpendiculaire 
menée du point S sur S^ dans le plan méridien. On voit, d'après 
cela, que l'équation précédente représente une circonférence 
passant en S, ayant son centre sur S^, et dont le rayon est 
. , , v2 G cot w' 
égala -6 
La nouvelle surface doit donc être considérée comme le lieu 
d'une série de cercles compris dans les divers plans méridiens, 
ces cercles passant au point S, et leurs centres, situés sur S^, 
étant à une distance de S égale à — e . Cette surface 
possède, comme celle dont elle est la transformée, cette propriété 
que les trajectoires orthogonales de ses méridiennes ont pour 
perspectives des spirales logarithmiques. Toute spirale logarith- 
mique, qui est la perspective d'une trajectoire orthogonale des 
méridiennes de la surface primitive, est en même temps la pers- 
pective de sa transformée, laquelle est une trajectoire orthogonale 
des méridiennes de la nouvelle surface. 
D'après ce qu'on a vu au numéro 5, les trajectoires orthogo- 
nales relatives à la surface ^ + c = ^^ se trouvent sur 
des cylindres de révolution ayant pour axe l'axe des z. Gonsidé- 
rons-en une quelconque, dont la projection sur le plan des xy 
sera représentée par l'équation 
^24-2/2-/^2^ ou u—n . 
On détermine aisément sa transformée, c'est-à-dire une trajec- 
