RECHERCHES SUR LES SURFACES. 457 
toire orthogonale relative à la nouvelle surface. On a, en effet, 
^ "~ ^' + 2/2 + (-2r + cf ~ v;' -h (^ + cf ' 
7 ^ , , — ô COt (1)' 
et, SI 1 on remplace u par h ei z -^ g par M , on 
obtient 
v2/2 
w = 
u 
qui est l'équation, en coordonnées polaires, de la projection 
r le plan des œy d'une trajectoire orthogonale quelconque des 
éridiennes de la surface (15). 
On sait que les transformées des lignes de courbure d'une sur- 
ce sont les lignes de courbure de la transformée de cette sur- 
face. Comme on a déterminé, au paragraphe II, sous forme finie 
xplicite les équations des lignes de courbure de la surface 
^ — Ocoto)' , ., . 11 j 1- 
z •{- c^i he , on pourra en déduire celles des lignes de 
courbure de la surface représentée par l'équation (15). Rappelons- 
nous que, relativement à une ligne de courbure quelconque de 
première surface, les équations (7) et (8), obtenues au numéro 6, 
[éterminent w et Ô en fonction d'un certain paramètre variable a. 
5la étant , on exprimera u' en fonction de X au moyen de la 
>rmule 
u' — 
ù l'on mettra à la place de uei leurs valeurs en X; on y join- 
Ira l'équation (7), qui détermine 6, et ces deux équations seront 
celles de la projection d'une ligne de courbure quelconque de la 
surface (15j sur le plan des œy, en coordonnées polaires. 
