182 MÉMOIRES. 
Donc 
dx 
En y joignant l'équation proposée 
i — t, — \\{x) , 
on a les deux équations qui servent ici à déterminer les points 
singuliers, ce que nous voulions démontrer. 
Maintenant on voit que les séries en ces points singuliers sont 
toutes de la forme 
x — œi = a{t — t,f + b{i — tf + c{i - tf + ... 
et ainsi ils sont tous de la première espèce. 
IL — Au lieu d'une équation à une seule variable, nous consi- 
dérons maintenant l'équation à deux variables 
f{y , œ) = o , 
et nous nous demandons comment elle peut représenter des con- 
tours fermés. Pour cela, nous considérons deux plans X et Y 
indépendants l'un de l'autre, sur lesquels se meuvent respective- 
ment les points œ eiy représentés par leurs afflxes. 
Xi Vi étant une relation t]e cette équation non confondue avec 
des points singuliers, nous y remplaçons x par Xi -{- {x — x^) , 
y par yi-{-(y — Vi) et l'équation proposée est mise, en employant 
la méthode de Puiseux, sous la forme 
{y — 2/.) V{y , Vi > oc — X,) — {x — Xt) U{y — ?/, ,x — Xi), 
les fonctions F et H étant entières et rationnelles. On peut la 
mettre sous diverses formes en faisant passer certains termes du 
premier membre dans le second ; nous supposerons, pour fixer les 
idées, que l'on ait fait passer du premier membre dans le second 
