234 MÉMOIRES. 
Voici le résumé des principaux résultats contenus dans ce tra- 
vail. 
En premier lieu, je trouve les coordonnées rectangulaires d'un 
point quelconque de la surface la plus générale dont toutes les 
lignes de courbure sont planes, en fonction des paramètres ca- 
ractéristiques des lignes de courbure, c'est-à-dire de deux varia- 
bles u ei V telles que ces lignes de courbure correspondent, pour 
un système, aux valeurs constantes de m, et, pour l'autre, aux 
valeurs constantes de v . 
En second lieu, je donne, en fonction des mêmes paramètres, 
les rayons de courbure principaux et les coordonnées des centres 
de courbure principaux, ce qui fournit les développées des sur- 
faces étudiées. 
J'applique enfin les formules obtenues aux enveloppes de sphè- 
res, aux surfaces-moulures et, dans un dernier paragraphe, aux 
surfaces à courbure moyenne nulle. 
2. — Les propriétés bien connues sur lesquelles repose l'analyse 
qui va suivre sont relatives à la représentation sphérique des 
surfaces d'après la méthode de Gauss. Dans cette représentation, 
on fait correspondre, deux à deux, les points d'une surface donnée 
et ceux d'une sphère pour lesquels les plans tangents sont pa- 
rallèles, et l'on appelle image sphérique d'une ligne tracée sur la 
surface proposée, le lieu des points de la sphère qui correspondent, 
d'après la définition précédente, à ceux de la ligne considérée. 
Ceci posé, pour qu'une ligne tracée sur une surface soit une 
ligne de courbure de celle-ci, il faut et il suffit que les éléments 
de cette ligne soient parallèles aux éléments correspondants de 
son image sphérique. 
Il en résulte immédiatement que l'image sphérique du réseau 
formé par les lignes de courbure d'une surface est un réseau 
orthogonal, comme le premier. On lui donne quelquefois le nom 
d'image sphérique de la surface elle-même. 
Ces propriétés, dont nous aurons à faire usage, sont des con- 
séquences évidentes de la définition ordinaire des lignes de cour- 
bure. Elles entraînent, à leur tour, les propriétés suivantes, qui 
sont pareillement fort importantes pour notre objet. 
1° L'image sphérique d'une ligne de courbure plane est un 
