DES SURFACES. 235 
cercle dont le plan est parallèle au plan de cette ligne, et réci- 
proquement, toute ligne de courbure dont l'image sphérique est 
circulaire est contenue dans un plan parallèle au plan du cercle. 
2" Pour que les lignes de courbure d'une surface soient planes 
dans les deux systèmes, il faut et il suffît que l'image sphérique 
de ces lignes de courbure soit formée par un double réseau de 
cercles orthogonaux ^ 
3. — Tout réseau sphérique de cercles orthogonaux est cons- 
titué par deux familles de cercles, dont les plans passent par 
deux droites fixes, polaires réciproques par rapport à la sphère, 
c'est-à-dire par deux droites H et H' qui sont perpendiculaires 
entre elles, et dont les distances au centre de la sphère, néces- 
sairement comptées sur un même diamètre, donnent un produit 
constant égal au carré du rayon. De ces deux droites, l'une H est 
extérieure à la sphère et l'autre H', la coupe. 
Cette construction géométrique est la conséquence de ce que 
la condition nécessaire et suffisante pour que deux cercles tracés 
sur une même sphère se coupent à angles droits, est que le som- 
met du cône circonscrit à la sphère suivant l'un des cercles 
appartienne au plan de l'autre cercle. 
Un corollaire intéressant de la proposition précédente est 
celui-ci. Lorsque toutes les lignes de courbure d'une surface sont 
planes, les plans des lignes de courbure sont, dans chaque sys- 
tème, parallèles à une droite fixe, et les deux droites relatives 
aux deux systèmes sont rectangulaires. En d'autres termes, si 
les lignes de courbure d'une surface sont planes dans les deux 
systèmes, les plans des lignes de chaque système enveloppent un 
cylindre, et les deux cylindres enveloppés ont leurs génératrices 
à angle droit. Ces génératrices sont d'ailleurs parallèles aux 
droites H et H' relatives à l'image sphérique. 
En résumé, la recherche des surfaces dont toutes les lignes de 
courbure sont planes est ramenée à trouver les surfaces dont les 
lignes de courbure ont pour image sphérique l'un des réseaux de 
cercles orthogonaux qui viennent d'être définis. 
I. Pour la démonstration détaillée de ces propositions et de celles 
qui suivent, on peut consulter le Traité de calcul différentiel, de 
M. J. Bertrand, p, 728. 
