238 MÉMOIRES. 
7. Démonstration des formules précédentes. — Pour établir 
ces résultats, nous remarquerons, en premier lieu, que tout point 
de la sphère est situé sur deux cercles appartenant à des systèmes 
différents, et, en second lieu, que les équations de deux plans, 
passant l'un par la droite H, l'autre par la droite H', sont res- 
pectivement 
(a) «/ = A (1 — X cos k) 
(p) z = [;-(cos k — ûc) , 
\ et [j. désignant deux paramètres arbitraires. 
Les deux cercles correspondants se coupent en deux points 
dont les coordonnées satisfont aux équations précédentes et à 
l'équation de la sphère 
ûc^~ -\- y'^ + z^ z=: l . 
De ces trois équations, on tire, par élimination, 
^2 -f. a2(1 _ a; cos ky + ij,2(cos k — œy — i , 
ou, après quelques réductions faciles, 
_ (â^ + [j?) cos fe zir V^(1 — X^ sin^ fe)(l + !^.^ sin'^ h) 
^^^^ ^ ~ 1 + a2 cos2 k + y:' ' 
pour les coordonnées œ des deux points considérés. 
Afin de présenter ces valeurs sous une forme rationnelle, je 
ferai un changement de variables, assez naturellement indiqué, 
en posant 
_ tg hu 
V / * _ tg -y _ 
s'm k ' 
l'argument u devant prendre toutes les valeurs de — cx> à -|- =«, 
et l'angle v étant seulement assujetti à varier de o à z, ce qui 
suffit pour obtenir tous les plans des cercles réels des deux sys- 
tèmes. Si l'on remarque maintenant que 
"là 
