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Quant à la valeur de ds-, elle se déduit de l'équation générale 
ds'^ — dx- + dy'- + dz"^ , 
où les différentielles dœ , dy , dz sont exprimées en du et dv à 
l'aide de relations analogues à la suivante : 
dx , , dx , 
dx zn -— du -\- —- dv . 
du dv 
9. Cas particuliers. — Les cas particuliers sont au nombre de 
deux. 
1° Il peut arriver que l'une des droites, H, soit rejetée à l'infini. 
Alors la droite H' passe par le centre de la sphère. Les cercles 
du premier système sont situés dans des plans perpendiculçiires 
au diamètre H' et, par suite, parallèles entre eux. Les cercles du 
second système sont les grands cercles ayant leur diamètre com- 
mun sur H'. En résumé, le réseau sphérique de cercles orthogo- 
naux est constitué, dans ce cas, par des cercles parallèles et les 
grands cercles méridiens passant par les pôles des premiers. Le 
cas que nous considérons n'exige pas des formules nouvelles, car 
il suffit évidemment d'introduire l'hypothèse cos h rz o dans 
toutes les formules générales. 
2° L'une des droites, H, touche la sphère au point A, Alors 
l'autre droite, H', touche la sphère au même point. Les cercles 
du premier système touchent la droite H au point A, et ceux du 
second touchent pareillement la droite H' en ce point. Dans ce 
cas, le réseau de cercles orthogonaux est constitué par des cercles 
tangents entre eux par famille. Nous donnerons à ce cas le nom 
de cas spécial, parce que les formules générales deviennent alors 
illusoires. 
Effectivement, on a sin h =:o et les variables u et v dispa- 
raissent des formules (1). 
On obtient les formules propres à ce cas spécial sans faire un 
changement de variables. Puisque l'on a sin A r= o , l'équation 
(y) donne pour x les deux valeurs 
a7| = 1 , Xizr: - 
X2 _^ ^2 _ I 
