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riques de cercles orthogonaux, trouver les surfaces qui l'admet- 
tent pour image de leurs lignes de courbure. 
10. Solution générale. — Soit m, un point quelconque {u, v) 
de la sphère, M le point correspondant de la surface cherchée. 
Au point M, le plan tangent est parallèle au plan tangent à la 
sphère en m. L'équation de ce plan tangent sera donc 
(6) .r(cos Jiu cos h — cos v)-\-y sin h sin Im -j- z sin ft sin i? = Y{u, v) , 
Y{u, v) désignant une fonction inconnue, qu'il s'agit de déter- 
miner de façon que la condition de l'énoncé soit satisfaite. 
A cet effet, j'observe d'abord que le point de contact de ce plan 
tangent est déterminé par l'équation (6) jointe aux. équations dé- 
rivées par rapport ku ai v, savoir : 
(7) œ sin /m cos ^ -4- w sin ^ cos huz:z — - , 
du 
(8) â? sin 1? + .sr sin ft cos V =: — - . 
dv 
Pour exprimer que le réseau sphérique est l'image des lignes 
de courbure de la surface cherchée, il faut écrire que si le point 
m{u, v) de la sphère se déplace infiniment peu sur l'un des deux 
cercles qui se coupent en ce point, les déplacements du point 
correspondant M de la surface sont parallèles à ceux du point m. 
11. — Supposons donc que le point m de la sphère se déplace 
infiniment peu sur le cercle {u), par exemple, c'est-à-dire que 
l'argument u restant fixe, v augmente de dv. Les coordonnées de 
M, définies par les équations (6) , (7), (8), recevront des accrois- 
sements que nous désignerons par dvX, dvV, dcZ, et que l'on ob- 
tiendra par la difïerenliation des équations précédentes où v 
seule variera. On trouvera ainsi, en tenant compte de ces mêmes 
équations (6), (7), (8) : 
rf,a7(cos/mcosA— cosv)-|-£^i,2/sinAsin^w4 rf»^sin/jsinv = o , 
dW 
dvX sin hu cos h + dvV sin h cos /m 
dudv ' 
d^F 
dtX sin V -\- dvZ sin h cos v 4- do(xco<> v—zsia A sin v) zr -,-^ 
^ ^ dv^ 
