DES SURFACES. 243 
Pour avoir les valeurs relatives au déplacement du point m, il 
suffit évidemment de remplacer la fonction F par sa valeur re- 
lative à la sphère, savoir (4) : 
Y{u, v) =r cos hu — cos k cos v. 
Or, si l'on fait la remarque essentielle que pour la sphère 
du dv 
, il viendra 
( dtccj^coshucosk — cosu)+dr2/oSin/fsin^M-|-dr>îoSinftsin»r=o , 
\ dtX^ sin Jm cos K + d^y^ sia K cos huz:: o 
i dviOQsiïïv-\-dTZoS\nkcosv-\-dv{œoCosv — z^^mk sint?)=cosAcost7 ; 
^0' 2/o' -STo, désignant les coordonnées de m . 
Pour que les deux déplacements soient parallèles, il faut et il 
suffit que l'on ait 
dcX _ dry _ dcZ 
UcOCq Ûfrî^o dtZ(f 
et, par suite de la comparaison des deux groupes de formules, 
^F 
(9) 
dudv 
La forme de cette équation montre que si l'on avait exprimé le 
parallélisme des déplacements des points M et m, en supposant 
que ce dernier se meuve sur le cercle (v), on serait parvenu à la 
même condition. 
L'équation (9) est donc l'équation diflerentielle du problème. 
Son intégrale s'obtient immédiatement, savoir : 
(10) F(w, v) = \: + Y , 
U étant une fonction arbitraire de la seule variable u, et V dési- 
gnant pareillement une fonction arbitraire de la seule variable v. 
Le problème est donc résolu et l'on peut énoncer le théorème 
suivant : 
L'équation 
(11) .a;(cos/îMcosft— cosî?)+î/sin*sin/itt+^sinftsini7 — U-i-V , 
