244 MÉMOIRES. 
OU h désigne une constante arbitraire, U et V, des fonctions 
arbitraires des variables u et v respectivement, représente le 
plan tangent à la surface la x^lus générale dont toutes les 
lignes de courbure sont planes et ont pour image spJiérique 
le réseau de cercles orthogonaux relatif à V angle h. 
De plus, les lignes de courbure de cette surface correspondent, 
pour un système, aux valeurs constantes de u et, pour l'autre 
système, aux valeurs constantes de v. 
12. Formules générales. - La surface cherchée est l'enve- 
loppe du plan représenté p* l'équation (11) lorsque u et v pren- 
nent toutes les valeurs possibles. Il est donc facile d'exprimer les 
coordonnées d'un point quelconque de la surface en fonction des 
paramètres caractéristiques w et -y de ses lignes de courbure. 
En différentiaût successivement par rapport ku ei v, il vient 
(12) X sin hu cos h -{- y ^lali cos hu =: U' 
(13) X ^inv + z sin U cos t; = V , 
U' et V désignant, comme d'habitude, les dérivées des fonctions 
U et V. 
En résolvant les équations (U), (12), (13), on trouve 
(U' sin hu — U cos hu) cos v + (V sin v — V cos v) cos hu 
(14) V 
cos /m — cos h cos v 
_ {Vîi'mhu—iy coshu)coskcosv-{-{y cosv—\'smv)smhucosh-\-lj' 
~~ (cos hu — cos h cos v) sin k 
_ (U cou hu — U'sin/«w)sin v + (Vsin y + Vcosî;)cos hu — V'cos A 
~ (cos hu — cos h cos V)) sin h 
pour l'expression des coordonnées d'un point de la surface. 
L'équation de celte surface résulterait de l'élimination de w et î? 
entre les équations (14), ou, ce qui revient au môme, entre (It), 
(12), (13). On voit que la surface sera algébrique si U est une 
fonction algébrique des lignes hyperboliques de u et, en même 
temps, si V est une fonction algébrique des lignes trigonométri- 
ques de v. 
Il est bon de remarquer que l3S équations (12) et (13) sont les 
équations générales des plans des ligues de courbure des deux 
