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DES SURFACES. 245 
systèmes ; car si l'argument u, par exemple, reste constant, on 
sait que le point M {u, v) de la surface décrit une ligne de cour- 
bure du système (u), et, d'autre part, l'équation (12) montre que 
ce point décrit le plan représenté par cette même équation. Le 
même raisonnement est applicable aux lignes {v). 
Aux formules (il), (12), (13), (14), qui définissent la surface 
sous les deux points de vue tangentiel et ponctuel, nous join- 
drons celles qui donnent les valeurs des dérivées partielles et du 
carré ds"^ de l'élément linéaire, ces nouvelles formules étant utiles 
dans certaines recherches. 
dx _ s'mhucosv r(U"cos/m— U'sin^w)— (U" — U)cosÂcost7" 
du~ (coshu—coskcosvYi — (V'sint? — Vcost7)cosft 
I dy cos hu cos v cos k — i.dx 
I du sin Â sin Aw cos 17 du 
dz sin V dx 
\ 
(16). 
du sin h cos v du 
dx cos hu sin y r(U cos hu — U' sin hu) + (V + V^ cos hu 
f[ 
dv ~ (cos hu— cos h cos v)- \_ — (V cos i? + V sin v) cos h 
dy sin hu cos k dx 
dv sin h cos hu dv 
dz cos k — cos hu cos v dx 
dv sin h cos hu sin v dv ' 
(17) ds"^ — Pdu"^ + ff^dv^ , 
où les valeurs de f ei g sont les suivantes 
(18) 
(U"cos/m— U'sin/m^ — (U" — U)cosftcosi7 — (V'sint? — V cos») cos A 
sin h (cos ?iu — cos h cos v) 
_ (U cos /m — U'siu ?iu) + (V -f \") cos hu — (Vcos v +V'sin y) cos k 
9 
sin /j (cos hu — cos h cos v) 
La valeur de ds- prouve, à posteriori, que le réseau (w, v) est 
orthogonal. 
13. Formules relatives au cas spécial — Il reste à considérer 
