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le cas où le réseau sphérique de cercles orthogonaux est formé 
de cercles tangents entre eux par famille. Dans ce cas, les équa- 
tions du réseau sphérique sont celles du n" 9, mais les raisonne- 
ments sont toujours les mêmes et l'on aurait, comme dans le cas 
général, 
F{u, -y) = U + V , 
car, pour la sphère, la fonction F {u, v) a pour valeur t*^ _j_ |;2 _|_ ^ 
et cette fonction vérifie encore la condition _, _, z=: 0. 
dudv 
On a donc les conséquences suivantes : 
l» L'équation 
(11)' œ{u'' + v^- — l) + 2uy -\- 2vz =zV + Y , 
où U et V désignent deux fonctions arbitraires des variables u 
et V respectivement, représente le plan tangent à la surface la 
plus générale dont toutes les lignes de courbure sont planes et 
ont pour image sphérique un réseau de cercles orthogonaux tan- 
gents entre eux par famille. 
2° Les lignes de courbure de cette surface correspondent, pour 
un système, aux valeurs constantes de u et, pour l'autre, aux 
valeurs constantes de v. 
3° Les coordonnées du point de contact du plan tangent ou, ce 
qui revient au même, d'un point quelconque de la surface, sont 
déterminées à l'aide de l'équation (11)' jointe aux équations déri- 
vées 
(12)' 2ux 4- 21/ = U' , 
(13)' 2vœ + 2z = Y' ; 
d'où l'on déduit 
V'u + Y'v — V—Y 
œ = 
(14)' y - 
^2 _j_ ^2 _|_ 1 
U'(^^ ■^v'' + \) — 2u {\}'u + V't? — U — V) 
2(^2 ^ ^2 _j_ 1) 
V'(w2 + îj2 _|_ 1) _ 2îJ (U'w -}- Y'v — U — V) 
^ 2{u'' + v'-\-l) 
